Trong quá trình học tập và nghiên cứu các hàm số, việc xác định đường tiệm cận là một kỹ năng nền tảng và thiết yếu. Bài viết này sẽ cung cấp hướng dẫn toàn diện về cách tìm tiệm cận bằng máy tính Casio, biến công cụ quen thuộc này thành trợ thủ đắc lực. Chúng ta sẽ tìm hiểu cách ứng dụng phương pháp CALC để xác định nhanh chóng giới hạn hàm số tại vô cực và tại các điểm gián đoạn, từ đó xác định chính xác tiệm cận đứng và tiệm cận ngang. Đặc biệt, chúng tôi tập trung vào việc sử dụng các dòng máy hiện đại như máy tính Casio FX-580VN X để đạt hiệu suất tối đa. Việc nắm vững kỹ thuật này sẽ giúp bạn giải quyết các bài tập phức tạp một cách hiệu quả.
Hiểu Rõ Khái Niệm Tiệm Cận Và Vai Trò Của Máy Tính
Trước khi đi sâu vào kỹ thuật bấm máy, việc củng cố lại định nghĩa toán học về tiệm cận là cần thiết. Tiệm cận là những đường thẳng mà đồ thị hàm số tiến gần đến khi biến số hoặc giá trị hàm số tiến tới vô cực. Máy tính Casio không thực hiện tính toán giới hạn một cách chính xác theo định nghĩa. Thay vào đó, máy tính sử dụng phương pháp tính giá trị xấp xỉ tại các điểm rất gần với giới hạn cần tìm.
Mục tiêu chính của việc sử dụng máy tính Casio là để kiểm tra và xác nhận kết quả tìm tiệm cận nhanh chóng. Nó đặc biệt hữu ích trong các bài kiểm tra trắc nghiệm. Việc hiểu rõ nguyên tắc này giúp chúng ta tránh các lỗi sai sót do máy tính trả về kết quả không mong muốn.
Tiệm Cận Đứng (TCD) Và Điều Kiện Tồn Tại
Đường thẳng $x = x_0$ được gọi là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số $y = f(x)$. Điều này xảy ra nếu thỏa mãn ít nhất một trong bốn điều kiện giới hạn sau. Các giới hạn này phải tiến tới vô cực ($pm infty$).
Các điều kiện cần kiểm tra bao gồm: $lim_{x to x0^+} f(x) = +infty$ hoặc $-infty$. Hoặc $lim{x to x_0^-} f(x) = +infty$ hoặc $-infty$.
Điều kiện tiên quyết để tìm tiệm cận đứng là xác định các điểm $x_0$ làm cho hàm số không xác định. Đối với hàm phân thức, đây thường là nghiệm của mẫu số. Tuy nhiên, nếu $x_0$ là nghiệm chung của cả tử số và mẫu số, đường tiệm cận đứng có thể không tồn tại do đã xảy ra hiện tượng khử dạng vô định.
Tiệm Cận Ngang (TCN) Và Ý Nghĩa Hình Học
Đường thẳng $y = y_0$ được gọi là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số $y = f(x)$. Điều này xảy ra nếu giới hạn của hàm số khi $x$ tiến tới vô cực cho ra một giá trị hữu hạn $y_0$.
Các điều kiện cần kiểm tra là: $lim_{x to +infty} f(x) = y0$ hoặc $lim{x to -infty} f(x) = y_0$. Trong đó, $y_0$ phải là một hằng số.
Một đồ thị hàm số có thể có tối đa hai tiệm cận ngang. Một tiệm cận khi $x to +infty$ và một tiệm cận khác khi $x to -infty$. Đặc biệt đối với các hàm số chứa căn thức, giới hạn tại $+infty$ và $-infty$ thường cho kết quả khác nhau.
Các hàm số đa thức hoặc hàm phân thức có bậc tử lớn hơn bậc mẫu sẽ không bao giờ có tiệm cận ngang. Việc nắm vững dấu hiệu nhận biết này giúp tiết kiệm thời gian tính toán.
Thiết Lập Môi Trường Tính Toán Trên Máy Tính Casio
Sử dụng máy tính Casio để tìm tiệm cận chủ yếu dựa vào chức năng tính giá trị. Chức năng này được kích hoạt thông qua phím CALC (Calculate).
Các Dòng Máy Casio Phổ Biến Hỗ Trợ Tìm Tiệm Cận
Hầu hết các dòng máy tính khoa học hiện đại đều có chức năng CALC. Các mẫu máy được khuyên dùng bao gồm Casio FX-570VN PLUS, Casio FX-580VN X, hoặc các dòng máy tương đương.
Dòng FX-580VN X (Vinacal) đặc biệt hữu ích vì khả năng hiển thị biểu thức đẹp. Nó còn có bộ nhớ lớn và tốc độ xử lý nhanh. Khi nhập hàm số, hãy đảm bảo rằng bạn nhập đúng cú pháp. Sử dụng biến $X$ (thường là $text{ALPHA} + text{Dấu Đóng Ngoặc}$) cho biến độc lập.
Nguyên Tắc Cơ Bản Của Phương Pháp CALC (Tính Giá Trị Gần Đúng)
Phương pháp CALC là nền tảng của cách tìm tiệm cận bằng máy tính Casio. Nguyên tắc là thay vì tính giới hạn (quá trình tiến tới), chúng ta tính giá trị hàm số tại một điểm cực kỳ gần với điểm giới hạn.
Để tính $lim_{x to A} f(x)$, ta sẽ cho $x$ một giá trị $A’$ rất gần $A$.
- Nếu $A$ là $+infty$, ta chọn $A’$ là một số dương rất lớn, ví dụ $10^{10}$, $10^{12}$ (hoặc $999999999$).
- Nếu $A$ là $-infty$, ta chọn $A’$ là một số âm rất lớn, ví dụ $-10^{10}$, $-10^{12}$.
- Nếu $A$ là $x_0^+$, ta chọn $A’ = x_0 + epsilon$. Trong đó $epsilon$ là một số dương rất nhỏ, ví dụ $0.0000001$ hoặc $10^{-9}$.
- Nếu $A$ là $x_0^-$, ta chọn $A’ = x_0 – epsilon$.
Việc lựa chọn $epsilon$ đủ nhỏ là rất quan trọng để đảm bảo độ chính xác.
Kỹ Thuật Sử Dụng Máy Tính Casio Để Tính Giới Hạn Cực Hạn
Việc sử dụng máy tính Casio để tính giới hạn đòi hỏi sự cẩn thận khi chọn giá trị thay thế.
Tính Giới Hạn Khi $x rightarrow pm infty$ (Xác Định TCN)
Để tìm tiệm cận ngang, chúng ta cần kiểm tra giới hạn của hàm số khi $x to +infty$ và $x to -infty$.
Bước thực hiện:
- Nhập hàm số $f(x)$ vào máy tính.
- Nhấn phím CALC.
- Để tính $x to +infty$, nhập $10^{10}$ hoặc $10^{12}$ (hoặc một số $9$ lặp lại).
- Để tính $x to -infty$, nhập $-10^{10}$ hoặc $-10^{12}$.
Phân tích kết quả:
- Nếu kết quả hiển thị là một số hữu hạn (ví dụ: $0.5$, $1$, $-3$), thì $y$ bằng số đó chính là tiệm cận ngang.
- Nếu kết quả hiển thị là một số rất lớn theo dạng khoa học (ví dụ: $5.2 times 10^9$ hoặc $-4.1 times 10^{11}$), điều này ngụ ý giới hạn là $pm infty$. Khi đó, hàm số không có tiệm cận ngang tại hướng đó.
Tính Giới Hạn Khi $x rightarrow x_0^{pm}$ (Xác Định TCD)
Tiệm cận đứng được xác định bằng cách kiểm tra giới hạn tại các điểm gián đoạn $x_0$.
Bước thực hiện:
- Nhập hàm số $f(x)$ vào máy tính.
- Xác định điểm $x_0$ cần kiểm tra (thường là nghiệm của mẫu số).
- Nhấn phím CALC.
- Để tính $x to x_0^+$, nhập $x_0 + 0.0000001$.
- Để tính $x to x_0^-$, nhập $x_0 – 0.0000001$.
Phân tích kết quả:
- Nếu kết quả là một số rất lớn dương ($text{VD}: 5 times 10^{12}$), giới hạn là $+infty$.
- Nếu kết quả là một số rất lớn âm ($text{VD}: -5 times 10^{12}$), giới hạn là $-infty$.
- Nếu kết quả là một số hữu hạn (ví dụ: $2.5$), hoặc rất gần $0$ (ví dụ: $10^{-8}$), thì $x = x_0$ không phải là tiệm cận đứng. Điều này thường xảy ra khi $x_0$ là nghiệm chung của tử và mẫu.
Lưu Ý Về Sai Số Và Độ Chính Xác Khi Dùng Máy Tính
Khi sử dụng Casio, ta chỉ nhận được giá trị xấp xỉ. Do đó, cần có kinh nghiệm phân biệt giữa kết quả hữu hạn và vô cùng.
- Nếu máy tính trả về $0.499999998$, có khả năng giới hạn thực sự là $0.5$.
- Nếu máy tính trả về $2.1234567 times 10^{10}$, đây là tín hiệu chắc chắn cho vô cực.
- Nếu máy tính trả về một số rất nhỏ, ví dụ $4.5 times 10^{-11}$, giới hạn thực sự là $0$.
Tuyệt đối không sử dụng quá ít chữ số $9$ hoặc quá ít chữ số $0$ khi tính giới hạn. Ví dụ, nếu sử dụng $x=1.0001$ để tính giới hạn tại $x=1$, có thể không đủ độ chính xác cho nhiều hàm số phức tạp. Nên sử dụng ít nhất 6-8 chữ số thập phân ($epsilon = 10^{-7}$ hoặc $10^{-8}$).
Phương Pháp Chi Tiết Tìm Tiệm Cận Ngang Bằng Máy Tính
Tiệm cận ngang là đường thẳng $y = y_0$ xác định bằng giới hạn của $f(x)$ khi $x$ tiến tới $pm infty$.
Bước 1: Nhập Hàm Số Và Chuẩn Bị Tính Toán
Nhập chính xác biểu thức hàm số $f(x)$ vào màn hình máy tính. Đảm bảo rằng mọi dấu ngoặc đơn đều được đặt đúng vị trí. Đối với các hàm chứa căn thức, hãy cẩn thận với phạm vi của dấu căn.
Ví dụ, nếu hàm số là $f(x) = frac{3x^2 + 1}{x^2 – 4}$, nhập $text{(3ALPHA X}^2 + 1) / (text{ALPHA X}^2 – 4)$.
Bước 2: Tính Giới Hạn Khi $x rightarrow + infty$
Sử dụng phím CALC để kiểm tra giới hạn phải.
Nhấn CALC. Nhập một giá trị $X$ rất lớn, ví dụ $X = 10^{10}$ (tương đương $10$ chữ số $0$ sau số $1$).
Nếu kết quả trả về là một hằng số $y_0$, thì $y = y_0$ là một tiệm cận ngang.
Bước 3: Tính Giới Hạn Khi $x rightarrow – infty$
Tiếp tục sử dụng phím CALC để kiểm tra giới hạn trái.
Nhấn CALC. Nhập một giá trị $X$ rất âm, ví dụ $X = -10^{10}$.
Nếu kết quả trả về là một hằng số $y_1$, thì $y = y_1$ là một tiệm cận ngang.
Phân Tích Kết Quả Và Kết Luận Tiệm Cận Ngang
Kiểm tra kết quả từ Bước 2 và Bước 3.
- Nếu $y_0 = y_1$, đồ thị chỉ có một tiệm cận ngang.
- Nếu $y_0 neq y_1$, đồ thị có hai tiệm cận ngang (thường xảy ra với hàm chứa căn thức).
- Nếu cả hai giới hạn đều ra $pm infty$, đồ thị không có tiệm cận ngang.
Ví dụ thực hành:
Tìm tiệm cận ngang của hàm số $y = frac{x + 1}{sqrt{x^2 – 1}}$.
- Nhập hàm số.
- CALC với $X = 10^{10}$. Kết quả $approx 1$. Suy ra $y = 1$ là TCN.
- CALC với $X = -10^{10}$. Kết quả $approx -1$. Suy ra $y = -1$ là TCN.
Vậy hàm số này có hai tiệm cận ngang.
Hướng Dẫn Toàn Diện Tìm Tiệm Cận Đứng Bằng Máy Tính
Tiệm cận đứng là đường thẳng $x=x_0$ cần được kiểm tra tại các điểm không thuộc tập xác định của hàm số.
Bước 1: Xác Định Các Ứng Viên Tiềm Năng (Nghiệm Mẫu)
Đối với hàm phân thức $f(x) = frac{P(x)}{Q(x)}$, tiệm cận đứng tiềm năng là nghiệm của phương trình mẫu số $Q(x) = 0$.
Ví dụ: $y = frac{x^2 – 4}{x^2 – 5x + 6}$.
Mẫu số $x^2 – 5x + 6 = 0$ có nghiệm $x=2$ và $x=3$. Đây là hai ứng viên TCD.
Bước 2: Kiểm Tra Giới Hạn Trái Và Giới Hạn Phải Tại $x_0$
Ta lần lượt kiểm tra giới hạn tại $x=2$ và $x=3$.
Kiểm tra tại $x=2$:
- Nhập hàm số vào máy tính.
- CALC tại $x = 2 + 0.0000001$. Kết quả $approx -4$. (Là giá trị hữu hạn).
- CALC tại $x = 2 – 0.0000001$. Kết quả $approx -4$. (Là giá trị hữu hạn).
Kết luận: $x=2$ KHÔNG phải là tiệm cận đứng.
Kiểm tra tại $x=3$:
- CALC tại $x = 3 + 0.0000001$. Kết quả $approx 1.3 times 10^7$ (Dương vô cùng).
- CALC tại $x = 3 – 0.0000001$. Kết quả $approx -1.3 times 10^7$ (Âm vô cùng).
Kết luận: $x=3$ LÀ tiệm cận đứng.
Việc kiểm tra giới hạn trái và phải là bắt buộc. Chỉ cần một trong hai giới hạn tiến tới vô cùng thì $x=x_0$ được chấp nhận là TCD.
Xử Lý Trường Hợp Đặc Biệt (Khử Dạng Vô Định)
Trường hợp $x=2$ ở ví dụ trên không là TCD vì tại $x=2$, tử số và mẫu số đều bằng 0. Hàm số có thể được rút gọn:
$$y = frac{(x-2)(x+2)}{(x-2)(x-3)} = frac{x+2}{x-3}$$
Khi $x=2$, $lim f(x) = frac{2+2}{2-3} = -4$. Giới hạn là hữu hạn, nên không có tiệm cận đứng.
Sử dụng máy tính Casio giúp phát hiện nhanh các trường hợp khử dạng vô định này. Nếu CALC tại $x_0 pm epsilon$ mà kết quả ra một số hữu hạn, hãy kết luận ngay rằng đó không phải là tiệm cận đứng.
Ứng Dụng Nâng Cao: Xử Lý Các Dạng Hàm Số Phức Tạp
Kỹ thuật cách tìm tiệm cận bằng máy tính trở nên vô giá khi xử lý các hàm số không phải là phân thức hữu tỷ đơn thuần.
Tìm Tiệm Cận Của Hàm Phân Thức Hữu Tỷ
Đối với các hàm số có dạng $f(x) = frac{P(x)}{Q(x)}$:
- TCN: So sánh bậc của $P(x)$ và $Q(x)$.
- Bậc tử < Bậc mẫu: $y=0$ là TCN.
- Bậc tử = Bậc mẫu: $y = frac{a_n}{b_n}$ (tỷ số hệ số bậc cao nhất) là TCN.
- Bậc tử > Bậc mẫu: Không có TCN.
- TCD: Tìm nghiệm $x_0$ của $Q(x)=0$. Kiểm tra giới hạn tại $x_0$ bằng CALC.
Máy tính Casio có thể xác nhận nhanh các quy tắc bậc này, đặc biệt khi các hệ số là số lẻ hoặc có nhiều bậc.
Tìm Tiệm Cận Của Hàm Chứa Căn Thức
Hàm chứa căn bậc chẵn (ví dụ: $sqrt{x^2+1}$) thường có tập xác định phức tạp và yêu cầu tính giới hạn cẩn thận.
Đặc điểm quan trọng của hàm chứa căn bậc chẵn là $|x|$ khi $x$ tiến tới $pm infty$.
- Khi $x to +infty$: $sqrt{x^2} approx x$.
- Khi $x to -infty$: $sqrt{x^2} approx -x$.
Sự khác biệt này dẫn đến khả năng có hai tiệm cận ngang khác nhau.
Ví dụ: Tìm TCN của $y = frac{2x + 1}{sqrt{4x^2 – 1}}$.
- $x to +infty$: Nhập $10^{10}$. Kết quả $approx 1$. (TCN: $y=1$).
- $x to -infty$: Nhập $-10^{10}$. Kết quả $approx -1$. (TCN: $y=-1$).
Việc sử dụng CALC loại bỏ rủi ro sai sót khi phải biến đổi đại số phức tạp liên quan đến căn thức và trị tuyệt đối.
Tìm Tiệm Cận Liên Quan Đến Tham Số $m$
Khi bài toán yêu cầu tìm điều kiện của tham số $m$ để hàm số có/không có tiệm cận, máy tính Casio được dùng để kiểm tra các giá trị $m$ cụ thể.
Ví dụ: Tìm $m$ để $y = frac{x+m}{x-1}$ có TCD $x=1$ và TCN $y=1$.
- TCN: $lim_{x to pm infty} frac{x+m}{x-1} = 1$ (tỷ số hệ số bậc cao nhất). Điều này luôn đúng với mọi $m$.
- TCD: Ứng viên là $x=1$ (nghiệm mẫu). $x=1$ là TCD khi giới hạn tại $x=1$ là vô cùng. Điều này xảy ra khi tử số $1+m neq 0$, tức là $m neq -1$.
Nếu đề bài phức tạp hơn, có thể thử $m$ bằng các giá trị $0, 1, -1$ để kiểm tra giới hạn bằng Casio. Điều này giúp xác định nhanh các trường hợp $m$ làm triệt tiêu tử số, dẫn đến hiện tượng khử dạng vô định.
Bài Tập Thực Hành Cụ Thể Và Phân Tích Kết Quả
Áp dụng thành thạo cách tìm tiệm cận bằng máy tính yêu cầu luyện tập thường xuyên. Dưới đây là các bài tập tiêu biểu.
Ví Dụ 1: Hàm Phân Thức Đơn Giản (TCN và TCD)
Tìm TCD và TCN của hàm số $y = frac{2x-1}{x^2 – x – 2}$.
A. Tiệm cận ngang (TCN):
- Bậc tử (1) < Bậc mẫu (2). Dự đoán $y=0$.
- CALC $X = 10^{10}$. Kết quả $approx 2 times 10^{-10}$ (Rất gần 0).
- CALC $X = -10^{10}$. Kết quả $approx -2 times 10^{-10}$ (Rất gần 0).
Kết luận: $y=0$ là TCN.
B. Tiệm cận đứng (TCD):
-
Nghiệm mẫu: $x^2 – x – 2 = 0 Leftrightarrow x=-1; x=2$.
-
Kiểm tra $x=-1$:
- CALC $x = -1 + 10^{-8}$. Kết quả $approx -0.9 times 10^8$ ($to -infty$).
- CALC $x = -1 – 10^{-8}$. Kết quả $approx 0.9 times 10^8$ ($to +infty$).
- $x=-1$ là TCD.
-
Kiểm tra $x=2$:
- CALC $x = 2 + 10^{-8}$. Kết quả $approx 1.5 times 10^8$ ($to +infty$).
- CALC $x = 2 – 10^{-8}$. Kết quả $approx -1.5 times 10^8$ ($to -infty$).
- $x=2$ là TCD.
Đồ thị hàm số có 1 TCN ($y=0$) và 2 TCD ($x=-1, x=2$).
Ví Dụ 2: Hàm Chứa Căn Thức (Hai TCN)
Tìm số tiệm cận ngang của đồ thị hàm số $y = 2x + sqrt{4x^2 + 1}$.
A. Giới hạn khi $x to +infty$:
- Nhập hàm số $f(x) = 2X + sqrt{4X^2 + 1}$.
- CALC $X = 10^{10}$. Kết quả $approx 4 times 10^{10}$ ($to +infty$).
Kết luận: Không có TCN khi $x to +infty$.
B. Giới hạn khi $x to -infty$:
- CALC $X = -10^{10}$. Kết quả $approx 0$.
Kết luận: $y=0$ là TCN khi $x to -infty$.
Vậy đồ thị hàm số chỉ có một tiệm cận ngang là $y=0$.
Ví Dụ 3: Tìm Điều Kiện Tham Số Để Không Có TCD
Tìm tất cả các giá trị của tham số $m$ để đồ thị hàm số $y = frac{x-1}{x^2 – 4x + m}$ có TCN mà không có TCD.
A. Tiệm cận ngang:
Bậc tử (1) < Bậc mẫu (2). Luôn có TCN $y=0$.
B. Tiệm cận đứng:
Để không có TCD, phương trình mẫu $x^2 – 4x + m = 0$ phải vô nghiệm.
Điều kiện vô nghiệm: $Delta’ < 0$.
$Delta’ = (-2)^2 – 1 cdot m = 4 – m$.
$4 – m < 0 Leftrightarrow m > 4$.
Kiểm tra trường hợp đặc biệt: Nếu tử số có nghiệm $x=1$ trùng với nghiệm mẫu.
Nếu $x=1$ là nghiệm mẫu: $1^2 – 4(1) + m = 0 Leftrightarrow m=3$.
Nếu $m=3$, hàm số trở thành $y = frac{x-1}{x^2 – 4x + 3} = frac{x-1}{(x-1)(x-3)}$.
Hàm số rút gọn thành $y = frac{1}{x-3}$. TCD là $x=3$. (Loại $m=3$).
Vậy, điều kiện để không có TCD là mẫu số vô nghiệm, tức là $m > 4$.
Ví Dụ 4: Phân Tích Tổng Hợp Nhiều Dạng Hàm Số
Tìm TCD và TCN của các hàm số sau:
a. $y = frac{2x – 3}{x – 1}$
b. $y = frac{x-2}{x^2 + 4}$
c. $y = frac{x^2 – 4}{2x – 1}$
a. $y = frac{2x – 3}{x – 1}$
- TCN: Bậc tử = Bậc mẫu. $y = 2/1 = 2$. (CALC $10^{10} to 2$).
- TCD: Nghiệm mẫu $x=1$. Tử số tại $x=1$ là $-1 neq 0$.
- CALC $x = 1 + 10^{-8}$. Kết quả $to +infty$.
- $x=1$ là TCD.
b. $y = frac{x-2}{x^2 + 4}$
- TCN: Bậc tử (1) < Bậc mẫu (2). $y = 0$.
- TCD: Mẫu số $x^2 + 4 = 0$ vô nghiệm.
- Đồ thị hàm số không có tiệm cận đứng.
c. $y = frac{x^2 – 4}{2x – 1}$
- TCN: Bậc tử (2) > Bậc mẫu (1). Không có TCN.
- CALC $X = 10^{10}$. Kết quả $to +infty$.
- TCD: Nghiệm mẫu $x=1/2$. Tử số tại $x=1/2$ là $(1/2)^2 – 4 neq 0$.
- CALC $x = 0.5 + 10^{-8}$. Kết quả $to -infty$.
- $x=1/2$ là TCD.
Ví Dụ 5: Tiệm Cận Ngang Của Hàm Trị Tuyệt Đối (Nâng Cao)
Tìm tất cả các giá trị thực của $m$ để đồ thị hàm số $y = frac{x+1}{sqrt{mx^2+1}}$ có hai tiệm cận ngang.
A. Điều kiện tồn tại TCN:
Ta cần kiểm tra $lim{x to +infty} f(x)$ và $lim{x to -infty} f(x)$. Để giới hạn tồn tại và hữu hạn, mẫu số phải là một bậc nhất hoặc bậc hai có cùng bậc với tử số.
Để hàm số xác định trên khoảng vô hạn, cần $m > 0$. Nếu $m=0$, $y = x+1$ không có TCN. Nếu $m < 0$, tập xác định là hữu hạn, không có TCN.
Giả sử $m > 0$.
$y = frac{x+1}{sqrt{m}sqrt{x^2 + 1/m}} = frac{x+1}{sqrt{m}|x|sqrt{1 + 1/(mx^2)}}$
B. Tính giới hạn phải ($x to +infty$):
Khi $x > 0$, $|x| = x$.
$lim{x to +infty} y = lim{x to +infty} frac{x}{sqrt{m}x} = frac{1}{sqrt{m}}$.
TCN thứ nhất: $y_1 = frac{1}{sqrt{m}}$.
C. Tính giới hạn trái ($x to -infty$):
Khi $x < 0$, $|x| = -x$.
$lim{x to -infty} y = lim{x to -infty} frac{x}{-sqrt{m}x} = -frac{1}{sqrt{m}}$.
TCN thứ hai: $y_2 = -frac{1}{sqrt{m}}$.
Để có hai tiệm cận ngang khác nhau, ta cần $y_1 neq y_2$.
$frac{1}{sqrt{m}} neq -frac{1}{sqrt{m}}$. Điều này luôn đúng khi $m > 0$.
Vậy, đồ thị có hai tiệm cận ngang khi $m > 0$.
Sử dụng Casio, ta có thể thử $m=4$ (thỏa $m>0$):
$y = frac{x+1}{sqrt{4x^2+1}}$.
CALC $X=10^{10} to 0.5$. (TCN $y=1/2$).
CALC $X=-10^{10} to -0.5$. (TCN $y=-1/2$).
Việc sử dụng máy tính Casio xác nhận rằng hai giới hạn này luôn khác nhau khi $m > 0$.
Kỹ thuật cách tìm tiệm cận bằng máy tính đã chứng minh là một công cụ mạnh mẽ. Việc thành thạo phương pháp tính giới hạn thông qua phím CALC giúp tiết kiệm thời gian đáng kể. Nắm vững định nghĩa và quy tắc sử dụng các giá trị siêu nhỏ hoặc siêu lớn là chìa khóa. Điều này đảm bảo rằng bạn không chỉ giải quyết được các bài toán từ cơ bản đến nâng cao một cách nhanh chóng mà còn củng cố nền tảng kiến thức về đường tiệm cận của hàm số. Hãy luyện tập thường xuyên để tối ưu hóa hiệu suất làm việc với Casio.
Ngày Cập Nhật 28/11/2025 by Trong Hoang
Chào các bạn, mình là Trọng Hoàng, tác giả của blog maytinhvn.net. Mình là một full-stack developer kiêm writer, blogger, Youtuber và đủ thứ công nghệ khác nữa.
